Verfügbarkeit: Riemannsche Flächen :: Universität Regensburg

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Bibliographische Detailangaben
Titel:	Riemannsche Flächen
Von:	Klaus Lamotke
Person:	Lamotke, Klaus 1936-2022 Verfasser aut
Hauptverfasser:	Lamotke, Klaus 1936-2022 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	Deutsch
Veröffentlicht:	Berlin ; Heidelberg Springer [2009]
Ausgabe:	Zweite, ergänzte und verbesserte Auflage
Schriftenreihe:	Grundwissen Mathematik Springer-Lehrbuch
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adam_text	Titel: Riemannsche Flächen Autor: Lamotke, Klaus Jahr: 2009 Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen ............................................. 1 1.1 Riemannsche Flächen und ihre Abbildungen ............. 2 1.2 Liftungs- und Quotientenprinzip ........................ 7 1.3 Holomorphe Abbildungen .............................. 11 1.4 Endliche Abbildungen. Überlagerungen .................. 14 1.5 Deckgruppen ......................................... 17 1.6 Meromorphe Funktionen ............................... 20 1.7 Aufgaben ............................................ 22 2. Tori und elliptische Funktionen ......................... 24 2.1 Elliptische Funktionen ................................. 24 2.2 Die p-Funktion ....................................... 26 2.3 Abelsches Theorem für elliptische Funktionen ............ 29 2.4 Die Entdeckung der elliptischen Funktionen .............. 32 2.5 Reduzierte Basen. Torusabbildungen .................... 35 2.6 Normale Abbildungen der Zahlenebene .................. 38 2.7 Aufgaben ............................................ 41 3. Fundamentalgruppe und Überlagerungen ............... 43 3.1 Fundamentalgruppen .................................. 43 3.2 Monodromie ......................................... 47 3.3 Holomorphe Überlagerungen ........................... 52 3.4 Analytische Fortsetzung ............................... 53 3.5 Abzählbarkeit ........................................ 55 3.6 Unverzweigte normale Überlagerungen .................. 58 3.7 Konstruktion von Überlagerungen ...................... 60 3.8 Die Fundamentalgruppe einer Vereinigung ............... 62 3.9 Aufgaben ............................................ 66 4. Verzweigte Überlagerungen ............................. 68 4.1 Orbitprojektionen .................................... 68 4.2 Endliche Automorphismengruppen der Zahlenkugel ....... 69 4.3 Diskontinuierliche Gruppen ............................ 76 4.4 Komplexe Mannigfaltigkeiten und Garben ............... 77 VIII Inhaltsverzeichnis ....... 80 4.5 Orbitflächen ................................ 81 4.6 Verzweigungen . .. ¦............................... 84 4.7 Verzweigte normale Überlagerungen ..................... ^ 4.8 Universelle verzweigte Überlagerungen ................... gi 4.9 Aufgaben ........................................ .. 93 5. Die J- und A-Funktion .......................... g3 5.1 Modulgruppe und Modulbereich ........................ g7 5.2 Reduktionstheorie binärer Formen ...................... gg 5.3 Die J-Funktion ..................................... 103 5.4 Die A-Funktion ....................................... 106 5.5 Eigenschaften der A-Funktion .......................... 1Q9 5.6 Anwendungen der A-Funktion .......................... 112 5.7 Modulflächen ..................................... -Q5 5.8 Aufgaben .......................................... ... UT 6. Algebraische Funktionen .......................... 6.1 Funktionen auf endlichen Überlagerungen ................ ^ 6.2 Riemannsche Gebilde ................................ .^4 6.3 Puiseux-Theorie ...................................... ^5 6.4 Minimalpolynome und Automorphismen ................. ^ 6.5 Konsequenzen des Riemannschen Existenzsatzes .......... ^ 6.6 Funktionenkörper ..................................... ,0^ 6.7 Aufgaben ............................................ 133 7. Differentialformen und Integration ...................... 7.1 Differentialformen .................................... .. nn 7.2 Riemann-Hurwitzsche Formel. Automorphismen .......... 7.3 Residuum. Invariante Formen. Spur ..................... 7.4 Integration ........................................... .. .- 7.5 Die Abelsche Relation ................................. 1 .„ 7.6 Eine Charakterisierung der Tori ........................ „ 7.7 Homologie und Cohomologie ........................... _.. 7.8 Logarithmische Ableitung .............................. _„ 7.9 Aufgaben ............................................ 155 8. Divisoren und Abbildungen in projektive Räume ....... 8.1 Positive Divisoren .................................... „ 8.2 Holomorphe Differentialformen ......................... 8.3 Abbildungen in projektive Räume ...................... 8.4 Schnittdivisoren und Linearscharen ..................... 8.5 Multiplizität. Schnittzahlen ............................ ^ 8.6 Anzahl der Wendepunkte .............................. 8.7 Aufgaben ............................................ 172 Inhaltsverzeichnis IX 9. Ebene Kurven .......................................... 174 9.1 Projektive und affine Kurven ........................... 175 9.2 Normalisierung ....................................... 177 9.3 Schnitt-Theorie ....................................... 179 9.4 Singularitäten. Tangenten .............................. 182 9.5 Die duale Kurve. Eine Formel von Clebsch ............... 184 9.6 Plückersche Formeln .................................. 187 9.7 Aufgaben ............................................ 191 10. Harmonische Punktionen ................................ 194 10.1 Grundlagen .......................................... 195 10.2 Die Poissonsche Integralformel ......................... 198 10.3 Dirichletsch.es Randwertproblem ........................ 201 10.4 Subharmonische Funktionen ............................ 203 10.5 Gelochte Flächen. Abzählbarkeit der Topologie ........... 205 10.6 Greensche Funktionen ................................. 208 10.7 Elementarpotentiale ................................... 210 10.8 Der Abbildimgssatz für arme Flächen ................... 213 10.9 Aufgaben ............................................ 215 11. Uniformisierung. Dreiecksgruppen ...................... 217 11.1 Uniformisierung ...................................... 217 11.2 Abeltfche Fundamentalgruppen ......................... 218 11.3 Der Satz von Poincare-Weyl ............................ 220 11.4 Dreiecksgruppen ...................................... 223 11.5 Dreiecksparkettierungen ............................... 227 11.6 Das Kleinsche 14-Eck ................................. 231 11.7 Aufgaben ............................................ 236 12. Polyederflächen ......................................... 238 12.1 Flächenkomplexe ..................................... 238 12.2 Kombinatorische Klassifikation ......................... 243 12.3 Fundamentalgruppe und Homologie ..................... 246 12.4 Die Zerschneidung Riemannscher Flächen ................ 249 12.5 Riemannsche Periodenrelationen ........................ 251 12.6 Aufgaben ............................................ 254 13. Der Satz von Riemann-Roch ............................ 256 13.1 Beweis des Satzes von Riemann-Roch ................... 256 13.2 Die kanonische Abbildung ............................. 259 13.3 Darstellungen der Automorphismeiigruppe ............... 261 13.4 Der Satz von Clifford .................................. 262 X Inhaltsverzeichnis 13.5 Weierstraß-Punkte .................................... 264 13.6 Weitere Anwendungen ................................. 2^6 13.7 Aufgaben ............................................ 268 14. Der Periodentorus ...................................... 270 14.1 Vom Additionstheorem zum Periodentorus ............... 270 14.2 Perioden. Abelsches Theorem .......................... 2^ 14.3 Analytische Eigenschaften der Periodenabbildung ......... 276 14.4 Symmetrische Produkte ............................... 2^ 14.5 Linearscharen ........................................ 284 14.6 Aufgaben ............................................ 287 15. Die deRhamsche Cohomologie........................... 2^9 15.1 Pfaffsche Formen ..................................... 290 15.2 Flächenformen ....................................... 292 15.3 Ringgebiete und Scheiben .............................. 294 15.4 Pfaffsche Formen auf kompakten Flächen ................ 297 15.5 Hodge-Zerlegung und Periodenmatrix ................... 300 15.6 Normierte Differentialformen ........................... 302 15.7 Aufgaben ............................................ 304 16. Die Riemannsche Thetafunktion ........................ 306 16.1 Thetafunktionen ...................................... 306 16.2 Darstellung meromorpher Funktionen ................... 310 16.3 Funktionen mit exponentieller Singularität ............... 312 16.4 Über das Verschwinden der Thetafunktionen ............. 318 16.5 Der Torellische Satz ................................... 321 16.6 Ausblick: Abelsche Varietäten .......................... 324 16.7 Aufgaben ............................................ 327 Literaturverzeichnis ........................................ 329 Namensverzeichnis ......................................... 336 Sachverzeichnis ............................................. 337 Symbolverzeichnis ................. .......... 342
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